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• [총서] 살림 청소년 융합형 수학과학 총서 [55]

출판사 리뷰

“지금까지 다루지 않았지만 수에는 음수陰數, negative number가 있다. 마이너스의 수이다. 사실 마이너스의 수가 사람들에게 인지된 것은 그리 오래전 일이 아니다. 우리는 마이너스 세 개의 사과라든가 마이너스 다섯 명이라는 식의 음수를 실재의 양으로 인지할 수는 없다.
자연수가 사물의 개수를 나타내는 수라고 했을 때, 그다음에 나온 원래부터 없던 것을 나타내는 0이란 수는 쉽게 이해할 수 있었다. 그렇지만 없는 것보다 더 적은 수는 좀처럼 이해하기가 힘들다. 왜냐하면 수가 실재의 양을 나타낸다고 생각하기 때문이다. 실제로 2는 두 개의 사과를 나타냈지만 동시에 두 번째 사람도 나타냈다. 두 번째의 사람을 표현하는 2는 실제로 존재하는 양을 나타내지는 않는다. 좀 더 곰곰이 생각을 해 보면 2는 ‘상태’를 표현하는 수라는 것을 알 수 있다.
결국 사람들은 수가 무엇인가를 기준으로 해서 그것보다 많거나 적은 상태를 나타낸다는 것을 알아차리게 되었다. 이렇게 해서 음수, 마이너스의 수가 발견되었다. 마이너스의 수를 표현할 때 수 앞에 ―를 붙여서 ―3처럼 나타낸다. 얼음이 어는 온도를 기준인 0이라고 한다면 평상시 기온은 21도라고 한다. 하지만 0도보다 낮은 기온일 때는 ―4도라고 표현한다.
이렇게 음수는 매우 편리한 수였다. 이렇게 해서 수가 표현하는 세계는 비약적으로 넓어졌다. 지그까지 취급했던 수는 모두 마이너스를 포함한 수이다. 그만큼 수의 세계가 확대되었다. 이렇게 해서 무한하게 펼쳐지는 일직선상에 수를 표현하는 것이 가능해졌다. 수직선數直線, number line이라는 것은 좌우로 무한히 늘어나는 직선인데 그 위의 한 점을 고정시키고 기준의 0으로 생각한다. 수직선은 보통의 수를 오른쪽으로, 마이너스의 수를 왼쪽으로 놓고 길이로 취한 직선이다. 실제로 마이너스의 길이는 존재하지 않기 때문에 길이를 반대 방향으로 취했다고 생각할 수 있다. 이렇게 수직선이라는 이미지를 사용해서 우리들은 끊어지는 부분이 없이 무한하게 계속되는 수라는 추상적인 개념을 갖는 데 성공했다. 이처럼 수직선상에서 끊임없이 존재하는 수를 실수實數, real number라고 한다. 양의 실수는 구체적으로 존재하는 양을 나타내는 것이 가능하지만 음의 실수는 양(量)의 상태를 포함한 것을 표현한다고 생각할 수 있다.”

“
『정리』 롤의 정리(Rolle's theorem)
미분할 수 있는 함수에 대해서 f(a)=f(b)=0이라면 f'(c)=0이 되는 c(a〈c〈b)가 있다.

고등학교에서는 보통 이 정리를 x축에서 출발해서 x축으로 돌아가는 곡선에는 반드시 산의 정상이 있다는 그림을 사용하는 직관적인 증명을 하고 있다. 세밀한 증명은 여기에서는 생략하고 그 대신에 이 정리의 물리적인 내용을 설명하기로 한다.

출발점과 종점에 정차한 열차는 도중에서 가속도가 0이 되는 순간이 있다.

이것이 롤의 정리 내용이다. 이 경우 f(x)는 열차의 속도를 나타내는 함수이고 그 도함수가 가속도이다. 실제도 가속도가 플러스인 상태로 있으면 열차의 속도는 계속 빨라진다. 마지막에 정차하려면 어딘가에서는 가속도가 마이너스가 된다. 그러므로 어딘가에서는 가속도가 0이 되는 순간이 있다.
이것이 롤의 정리의 물리학적인 내용이다. 그렇다면 실제로 가속도가 0이 되는 순간은 언제일까? 유감스럽게도 보통은 그 시간을 지정할 수 없다. 그러나 다음 사실은 알 수 있다. 가속도가 0이 되는 것이 열차가 최고 속도를 낸 순간이라는 것이다. 왜 그럴까? 가속도는 속도의 변화율(속도를 미분한 것)이라는 것을 이해하면 된다.
결국, 최대 속도를 낸 순간에 가속도가 플러스라면 다음 순간에 좀 더 속도를 내게 될 것이다. 그렇지 않고 가속도가 마이너스라면 바로 전에는 속도가 더 빨랐을 것이다. 이것이 가속도가 속도의 변화율이라는 말의 의미이다. 양쪽 다 그 순간이 최대의 속도는 아니다. 따라서 최대 속도를 낸 순간에 가속도는 0이 된다. 실제로 롤의 정리의 수학적인 증명은 f(x)가 최댓값을 가진다는 것을 사용해서 증명하지만 그것은 이러한 물리적인 상황을 배경으로 한다.”--- 본문 중에서

목차
제1장 수와 계산
수에 대하여
계산에 대하여
제2장 문자와 방정식
제3장 변화의 법칙과 함수
제4장 미분과 적분
제5장 도형과 기하학
책을 끝내며
수학용어 색인