• 자연과학/공학 > 각종 교양과학 > 수학의 이해

출판사 리뷰

일확천금이 결국 꿈같은 것임을 알려주는 방정식 1920년 보스턴에서 짧지만 굵은 유명세를 누렸던 찰스 폰지. 그의 이름을 찾으면, 인물에 대한 설명보다는 다단계 사기가 먼저 검색된다. 요즘에야 흔하게 회자되는 다단계이지만 당시만 해도 그의 사기행각은 전대미문의 대형 사건이었다. 다단계 금융사기를 뜻하는 폰지 사기Ponzi scheme의 원리는 간단하다. 합법적인 고수익 사업이 있다며 몇 사람을 꼬드겨 투자금을 받아낸다. 고수익이 보장된다는 약속에 투자자들이 넘어온다. 정작 투자대상이 될 사업은 존재하지 않는다는 것이 함정이다. 사기꾼은 계속 투자자를 모아 나중에 투자한 사람의 돈으로 먼저 투자한 사람에게 투자수익금을 지급한다. 초기 투자자들이 떼돈을 벌다는 소문이 퍼지면, 판이 점점 키질 수밖에 없는데, 결국 더는 추가로 투자금을 모을 수 없는 지경에 이르고 피라미드는 자체의 무게로 붕괴하고 만다. 왜 이렇게 되는지는 다음의 방정식으로 간단하게 입증된다. 어떤 폰지 사기꾼에 2명의 최초 투자자가 걸려들었다. 이들에게 수익금을 지급하려면 4명의 새로운 투자자가 필요하다. 이들 모두에게 수익금을 배급하려면 8명이 더 필요하다. 그다음 투자자의 수는 16, 32, 64…로 늘어나야 한다. 이렇게 진행하는 수열은 등비수열의 일종이다. 이 공식으로 투자자를 구해보면 초기 투자자에서 20세대만 내려와도 투자자 수가 52만 4,288명이 필요하다. 이렇게 황당한 확장세가 전제조건이니 어찌 망하지 않을 수 있겠는가! 보이는 게 다가 아니야 언제부터인가 날씬한 것이 아름다움의 대명사처럼 되었다. 뚱뚱하면 왠지 느리고 게으른 사람으로까지 치부되기도 한다. 도대체 마른 것과 뚱뚱한 것을 나누는 기준이 뭘까? 이 기준에 절대적 영향을 미친 것이 바로 BMI 공식이다. BMI 공식은 벨기에의 통계학자이자 천문학자이며 수학자인 아돌프 케틀레에 의해 1870년 처음 만들어졌다. 케틀레는 사람을 몸무게만 가지고는 적당한지 판단할 수 없어, 키를 반영한 공식을 고안했다. 개인의 체중을 신장의 제곱으로 나누면 개인별 키 차이가 나름 합리적으로 반영된다고 보았던 것이다. BMI로 불리는 케틀레 지수는 엄청난 인기를 끌었다. 이를 광범위하게 적용해 체중과 여타 인구통계학적 변수를 연계한 것들이 쏟아졌다. 체중과 소득의 관계, 체중과 교육 수준의 관계, 출생지별 체중 등등. BMI가 이렇게 남발될 만큼 정확한 것일까? 사실 케틀레의 BMI 공식에는 어떠한 이론적 근거도 없다. 단지 그저 그럴 듯한 비교치에 불과하다. 키가 약 1m 98cm에, 체중이 약 97.5kg인 농구선수 마이클 조던의 BMI는 25쯤 된다. 이 수치는 정상과 과체중의 경계에 있다. 농구 역사상 최고의 선수, 농구 황제로 불리는 사나이가 과체중이라는 뜻이다. 테니스 선수 세레나 윌리엄스의 BMI는 26이다. 어김없는 과체중이다. 코트를 날쌔게 누비는 테니스 챔피언이 과체중이라는 말이다. 물론 같은 조건의 일반인이라면 과체중일 수 있다. BMI는 근육의 밀도를 잡아내지 못한다. 그럼에도 BMI가 남발되고 있는 건 통계 자료를 통해 비만에 대한 경각심을 일깨우는 데는 그만한 게 없기 때문일 것이다. 물론 52가지 방정식들 가운데는 우리가 익히 알고 있는 것도 있지만, 생소한 것도 적지 않다. 책에 실린 방정식 가운데는 그 하나만을 위해 몇 권의 책 지면을 할애해야 할 만큼 대단한 것도 있다. 그렇기 때문에 저자는 책을 읽는 독자에게 순서를 지켜가며 읽으라고 하지 않는다. 읽고 싶은 순서대로, 설렁설렁 읽기를 강추한다. 우리는, 영국 물리학자 켈빈 경의 말처럼, e-x2dx의 마이너스 무한대에서 플러스 무한대까지의 적분이 파이의 제곱근과 같다는 것을 아는 수학자가 아니고, 2+2\u003d4라는 것만 아는 일반인이기 때문이다. 그럼에도 저자는 이 책이 어느 누가 읽어도 재미있게 읽을 수 있는 수학책이길 희망한다.

‘무어의 법칙’이라는 용어는 무어의 예언이 발표되고 몇 년 뒤 무어의 친구이자 캘리포니아 공과대학교 교수인 카버 미드Carver Mead가 만들었다. 방정식은 가치의 기하급수적 증가를 표현한다. P0를 현재 성능(마이크로칩 1cm2에 최대 집적되는 전자 소자의 수)이라고 한다면, Pn는 n년 후의 미래 성능(n년 후 기하급수적으로 늘어난 소자집적도)이다. 이 경우 미래 성능은 현재 성능 곱하기 2n과 같다.
이 방정식에서 2n은 성능이 매년 두 배로 증가함을 나타낸다. 무어의 예언이 있은 지 얼마 후, 전자부품의 성능은 해마다 두 배가 아니라 18개월마다 두 배가 된다는 의견이 대두했다. 이 의견에 맞추려면 지수가 좀 더 작아져야 한다. 1975년, 무어는 1965년의 예측을 수정해서 칩의 성능이 2년마다 두 배로 증가한다고 했다. -62쪽

우리 몸은 체온을 일정하게 유지하기 위해서 아이작 뉴턴의 냉각법칙과 끊임없이 싸운다. 그 투쟁은 유난히 춥거나 더운 환경에 처했을 때는 한층 치열해진다. 뉴턴의 냉각법칙 내용은 간단명료하다. dQ/dt는 시간에 따른 물체의 열 획득정도 또는 손실정도를 말하고, 이는 물체와 주변의 온도차 Ts-T∞에 비례한다는 내용이다. 온도차가 클수록 물체가 열을 잃거나 얻는 속도가 높아진다. 냉수 한 컵과 뜨거운 커피 한 컵을 부엌 작업대에 놓아두자. 4°C인 냉수는 25°C인 실온보다 21°C 낮다. 82°C인 커피는 실온보다 57°C 높다. 그렇게 놓아뒀다가 두 시간 후에 돌아와 보면, 냉수도 커피도 실온이 되어 있다. 뉴턴의 냉각법칙에 따른 것이다. -81~82쪽

오일러 항등식이 놀라운 데는 여러 수학적 이유가 존재한다. 어떤 수를 거듭제곱해서 0보다 작은 값을 얻을 수 있다는 것부터 놀랍다. 과장 없이 말해도 ‘예삿일이 아니다’. 혹자는 오일러 항등식이 수학에서 가장 중요한 세 가지 연산인 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 골고루 하나씩 포함하는 점을 높이 산다. 오일러 항등식은 신비한 수의 세계에서도 가장 신비로운 상수로 꼽히는 e자연로그의 밑와 π원주율도 한 번씩 포함한다. 또한 덧셈의 항등원0과 곱셈의 단위원1도 역시 한 번씩 포함한다. 마지막으로, ‘-1의 제곱근’으로 정의되는 신비의 허수 i까지 들어 있다. 이 모든 것이 하나의 공식으로 결합해 유한 속에 무한이 숨어 있고, 무한이 유한을 만든다는 놀라운 진리를 천명한다. 이쯤 되면 수학적으로 타의추종을 불허하게 아름답다고 해도 되지 않을까? -104~105쪽

방사성 연대 측정법이 도입된 지 100년이 흘렀다. 지구 곳곳에서 35억 살이 넘는 암석들이 발견됐고, 지구에 떨어진 운석 중에는 나이가 45억 년에 달하는 것도 있다. 달 탐사선이 가져온 월석도 35억 년에서 40억 년짜리들이 수두룩하다. 방사성 원소라는 현재까지 제안된 가장 진보하고 가장 정밀한 시계에 따르면, 지구의 나이는 약 45억 살이고, 오차범위는 ±1%다. 그동안 겪은 풍파를 생각하면 우리의 지구는 나름 정정해보인다. -202~203쪽

우주에는 행성이 정말로 셀 수 없이 많다. 그렇다면 지적 생명체는? 이렇게 많고 많은 행성 중에 지적 생명체가 진화한 행성은 몇이나 될까? 우리가 알기로 그런 행성은 단 하나뿐이다. 지금 우리가 사는 행성. 그 두 번째는 아직 발견하지 못했다. 우리의 노력이 부족해서는 아니었다. 만약 둘까지 세게 되면, 그날이 언제 올지는 모르지만, 그때는 지적 생명체가 사는 행성이 우주에 부지기수라는 뜻이 된다. 얼마 전까지만 해도 지구 밖 우주 공간에서 지적 생명체를 찾는 것은 괴짜들의 영역이었다. 하지만 지금은 천체물리학의 어엿한 분야로 인정받고 있다. 이 분야의 초기 성과 중 하나가 서두의 방정식이다. 드레이크 방정식이라고 불리는 이 방정식은 우리 은하 안에 지구와 교신할 수 있는 지적 생명체가 사는 행성이 몇이나 될지 예측하기 위한 것이다. -215쪽

들어가는 글

1. 지구와 사과_ 뉴턴의 만유인력의 법칙
2. 중간의 의미_ 표준정규분포, 또는‘ 종형곡선’
3. 모나리자의 황금미소_ 황금비 Φ
4. 기린의 심장_ 베르누이의 비압축성 유동 방정식
5. 전류 전쟁_ 교류의 전압
6. 불자동차 효과_ 도플러 효과
7. 이 청바지 뚱뚱해보여?_ 체질량지수
8. 0 또는 1로만 답하시오_ 이진법 연산의 예
9. 쓰나미의 정체_ 파동의 정의
10. 무어의 업보_ 기하급수적 증가의 예
11. 상상의 탄성_ 훅의 법칙
12. 경찰 추산의 내막_ 군중 규모 추산
13. 파이가 뭐길래?_ 파이 값
14. 땀 빼는 일_ 뉴턴의 냉각법칙
15. 한 많은 주행거리_ 일률의 정의
16. 케이슨에서 있었던 일_ 헨리의 법칙
17. 화씨섭씨_ 화씨와 섭씨의 관계
18. 세상에서 가장 아름다운 방정식_ 오일러 항등식
19. 공짜 에너지의 꿈_ 열역학 제1법칙
20. 화성의 저주_ 힘의 단위 전환
21. 유레카!_ 물체의 밀도
22. 돈이 돈을 낳고_ 복리 계산
23. 허수아비의 증명_ 피타고라스 정리
24. 수의 에베레스트_ 페르마의 마지막 정리
25. 빛을 꺾어주세요_ 스넬의 법칙
26. 꿀벌 실종사건_ 야생 수분매개자를 위한 부지 적합성 예측
27. 태양을 피하는 방법_ 자외선차단지수
28. 롱다리의 약점_ 오일러의 좌굴 방정식
29. 사랑은 롤러코스터_ 페러데이의 전자기 유도 법칙
30. 실패의 사슬_ 점탄성 재료의 손실계수
31. 붙어야 산다_ 몽통의 마찰 법칙
32. 트랜스포머 완결편_ 푸리에 급수의 예
33. 돌려막기의 전설_ 등비수열의 예
34. 빛이 있으라 하니_ 진공 속 빛의 속도
35. 잘났어, 정말_ 지능지수 산출
36. 지구의 나이_ 방사성 원소 붕괴의 수량화
37. 이제 좀 들려요?_ 월리스 새빈의 잔향 시간
38. 끝날 때까지는 끝난 게 아니다_ 원자로 가동 중지 후 잔열 발생률
39. 쌍둥이별은 어디에_ 드레이크 방정식
40. 추락하는 것은 날개가 있다_ 정체공기 속 운동체가 받는 공기저항
41. 물의 죽음_ 자기장이 입자에 행사하는 힘
42. 개와 사람의 시간_ 개의 나이와 인간의 나이 비교
43. 보디히트_ 슈테판-볼츠만의 법
44. 온기의 빛깔_ 플랑크 복사법칙
45. 마른하늘에 날벼락_ 옴의 법칙
46. 물과 기름 사이_ 액체의 표면장력
47. 물 반 고기 반_ 폰 베르탈란피 성장 방정식
48. 물타기의 어려움_ 헐스피드
49. 느림의 과학_ 하겐푸아죄유의 방정식
50. 한 우물 파는 법_ 암반층 파쇄 압력
51. 빨간 약 줄까 파란 약 줄까_ 통계적 유의성 검정
52. 어느 방정식의 웅변_ 아인슈타인의 질량-에너지 등가원리