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2019/6 주요일간지 추천도서

반디앤루니스 리뷰

인류 최고의 발명품, 수학과 예술, 그 둘의 위대한 역사!
고대 중국의 《구고정리》부터 ‘초대칭성’까지 동서고금의 수학과 예술의 문화사

출판사 리뷰

저자 : 릴 갬웰 뉴욕 SVA(School of Visual Art)에서 예술, 과학, 수학사를 가르치고 있다. 저서로는 《보이지 않는 것에 대한 탐구 : 예술, 과학, 영적세계Exploring the Invisible: Art, Science, and the Spiritual》가 있다. 역자 : 김수환 국 미네소타 대학교에서 수학 학사와 응용수학 석사를 마치고, 캐나다 앨버타 대학교에서 통계학 박사 과정을 밟고 있다. 기업체와 잡지 등에서 다년간 번역 관련 일을 했으며, 현재 번역 에이전시 엔터스코리아에서 전문 번역가로 활동하고 있다. 주요 역서로는 [미적분으로 바라본 하루 - 일상 속 어디에나 있는 수학 찾기], [달콤새콤, 수학 한 입 - 놀이처럼 접근하는 친근한 수학] 등이 있다.

수학은 우주의 언어다. 어쩌면 수학은 단순히 우주를 묘사하는 것이 아니라 우주 그 자체일지도 모른다. (…) 수학이 철학자와 예술가에게 도저히 뿌리칠 수 없는 뮤즈였다는 것은 놀랍고도 당연한 일이다. 예술가의 본무 중 하나는 비예술가인 우리가 경험하는 세계와 우리 안의 세계를 해석하도록 돕는 게 아닐까? 수학이 이 세계를 묘사하는 이상 관찰력 있는 예술가는 수학을 받아들여 표현할 수밖에 없고, 이는 모두에게 영향을 미친다.
- 닐 디그래스 타이슨Neil deGrasse Tyson, 추천사 중에서

수학 관련 책을 읽는 비전공자는 보통 수학의 비밀이 이해할 수 없는 기술언어로 쓰여 있다는 점에 실망한다. 내 목표는 명확한 기호와 일치하는 도해나 숫자, 무한대, 기하학 패턴 같은 수학의 핵심 아이디어를 명확한 언어로 설명하는 데 있다. 또 역사적으로 수학 기호·도해·패턴이 어떻게 그림을 사용한 추상 개념의 시각화에 영향을 미치고 예술가에게 영감을 주었는지, 어떻게 전 세계 건축가가 이 소박한 어휘로 우뚝 솟은 도시를 설계했는지 탐험한다. 나아가 수학이 그 추상적인 성질로 인해 정확한 사고력의 국제언어로 쓰이게 된 과정을 살펴본다.
실천수학은 석기시대 초기 사람들이 돌을 깨던 것으로 출발해 지구와 하늘에서 숫자나 기하학 형태를 찾는 행위로 이어졌다(그림 0-1). 고대부터 현대까지 수학의 역사를 이어가는 실마리는 수학철학과 실천수학으로 구분할 수 있다. ‘확실한 지식이란 무엇인가?’(인식론), ‘숫자란 무엇인가?’ 또는 ‘숫자는 어떻게 존재하는가?’(형이상학) 등을 질문한 플라톤 같은 이들은 수학철학을 연구했다. 반면 ‘삼각형 세 각의 합은 180°인가?’(기하학) 혹은 ‘소수에 패턴이 있는가?’(산술)라는 질문을 던진 유클리드를 비롯한 수학자는 실천수학 쪽이었다. 계몽주의 시대 학자이자 플라톤 전통의 형이상학 저서 《모나드론Monadology》(1714년)을 집필한 고트프리트 라이프니츠 같은 수학자는 양쪽 모두에 해당한다.
- 13p, 수학자와 예술가, 그들의 상호작용 역사

중세유럽은 결국 유클리드와 프톨레마이오스의 지식을 잃어버렸지만 이슬람 학자들은 비잔틴의 그리스어 문헌을 아랍어로 번역해 보존했다(그림 1-39). 9세기 칼리프들은 학자들이 해외(특히 그리스)의 수학과 철학 지식을 번역하고 자신의 고유 사상을 표현하도록 바그다드에 지혜의 집을 건설했다. 프톨레마이오스의 저서 13권은 오늘날 아랍 학자들이 명명한 《알마게스트Almagest》(아랍어로 ‘가장 위대한’이라는 뜻)로 알려져 있다. 그리스 수학을 토대로 중요하고 획기적인 것도 발견했는데, 그중에는 이슬람 학자들이 인도 수학에서 0과 숫자 자리를 받아들인 것도 포함되어 있다(그림 1-37).
유클리드에게는 일반적인 산술 연산을 다루는 표기법이 없었다. 이슬람 수학자 알 콰리즈미는 AD 825년쯤 숫자의 일반적인 속성을 표현하는 데 숫자 대신 알파벳을 사용할 수 있음을 깨달았다. 예를 들어 x+y=y+x는 두 숫자의 합은 순서와 상관없이 같다는 사실을 표현한다. 여기에서 x와 y는 변수로 임의의 두 숫자를 대신 사용할 수 있다. 결국 알 콰리즈미는 산술을 일반화하고 대수학(대수학Algebra은 아랍어로 ‘복원’을 뜻하는 ‘al-jabr’가 그 어원이다)을 창시했다. 우리는 이 대수학을 이용해 ‘2+x=5일 때 x의 값은 무엇인가?’라고 물을 수 있다.
- 55p, 이슬람의 수학: 대수학과 아라비아 숫자

BC 6세기 공자는 타인을 대하는 올바른 행동윤리 철학을 전파했다. 이 철학은 도덕 교리로 그 자체에는 수학요소가 없다. 그러나 공자의 글에는 사람이 엄격한 계급과 조화로운 질서를 이루고 개개인이 협력해 집단을 이루는 것에 관한 이야기가 가득하다. 공자의 철학에는 전통 점성술책 《주역》(역경易經)이 설명하는 마법적 체계도 담겨 있다.
‘역경’이라는 점성체계는 동물, 날씨, 사람의 감정에 따른 징조와 속담 등으로 시작했지만 공자 시대에 이르러 사건의 숨은 뜻을 찾고 미래를 예지하는 방법으로 집대성되었다. 《역경》은 ‘괘’라 불리는 64개 패턴으로 구성되어 있다(그림 1-46, 1-47, 1-48). 이들 패턴을 정리하는 방법에는 여러 가지가 있으나 공자의 윤리에서 다루고 현대까지 이어져온 것은 복희씨의 방법이다.
복희씨는 BC 29세기 지배자로 이집트 사카라의 피라미드보다 200년 정도 앞선 인물로 추정된다. 고대 《역경》은 피타고라스나 플라톤처럼 자연계의 수학 패턴을 이해하려는 노력으로 출발했지만, 새로운 사건에 숫자를 부여하고 그 사건을 주어진 글에 맞춰 설명하는 방식으로 퇴보했다. 결국 《역경》으로는 더 이상 자연을 탐험하지 못했으나 《역경》의 추상 형태에서 나오는 권위는 2,000년 동안 아시아인의 마음을 끌었다.
- 66p, 아시아의 수학: 추상화하지 않은 일반화

달리는 레오나르도가 파치올리와 함께 공부하면서 작업한 까닭에 그의 작품 중 유일하게 선원근법을 사용한 ‘최후의 만찬’에 기반을 두고(그림 2-10) ‘최후의 성찬식’(1955년, 그림 2-32)을 완성했다. 이 작품에 1:1.618 비율의 정사각형 캔버스를 사용한 달리는 황금분할에 기반을 둔 기카의 도해(그림 2-33)를 이용해 제자들을 피라미드 모양으로 배치할 것을 결정했다. 그림 배경의 기하학 구조는 레오나르도가 파치올리의 책에 그린 텅 빈 12면체(그림 2-22)인데 이것은 플라톤의 《티마이오스》에서 우주를 상징하는 모양으로 쓰였다. 로마가톨릭 성찬식에서 사용하는 (달리의 그림에서는 식탁 위에 놓인) 빵과 포도주는 (문자 그대로) 그리스도의 몸과 피로 변형했다. 달리는 원근감을 설정할 때 그리스도의 몸이 중앙(소멸점)에서 투명해지는 방식으로 성변화聖變化를 표현했다. 그 위로 천국의 12면체 안에는 십자가에 못 박힘과 승천을 암시하는 양쪽으로 뻗은 두 손이 놓여 있다. 이는 불멸하는 무한한 하느님의 유한한 아들인 예수의 이중적인(물리적·정신적) 본질을 나타낸다.
달리는 자신의 스타일을 ‘핵 신비주의’라고 불렀는데 이것은 현대의 과학적 세계관과 전통적인 종교적 도상학을 합쳤음을 의미한다. 그는 차이징과 기카가 권고한 것처럼 황금분할로 아름다움이나 완벽한 비율을 확보하기보다 파치올리의 주장대로 황금분할을 이용해 신성을 상징화하려 했다. 현대예술에서 ‘최후의 성찬식’ 같은 신성한 기하학을 찾는 것은 어렵다. 달리는 신앙 시대에 옛 거장들이 창작한 예술을 향한 향수 어린 존경의 표시로 이같은 작품을 그렸으나 아내 갈라를 성모마리아로 그렸듯 성스러운 것과 불경한 것을 섞은 그림을 그리기도 했다(‘포트리가트의 성모마리아The Madonna of Portlligat’, 1950년경). 달리는 자신과 다른 화가들이 핵시대에 걸맞은 예술을 창조하도록 새로운 시기의 ‘혼란’을 몰아내려 했지만, 영적인 닻이 없는 탓에 오히려 혼란을 더 키우는 데 기여하고 말았다.
기카의 또 다른 학생인 스위스의 건축가 르코르뷔지에는 1923?1925년 파리의 메종 라 로슈Maison La Roche에서 간단한 기하학 형태를 사용해 자신의 경력을 시작했다. 기카가 1927년에 쓴 책을 얻은 그는 건물을 디자인할 때가 아니라 일단 디자인한 뒤 그 디자인을 확인하기 위해 1.618 비율을 사용했다(가령 ‘가르슈 빌라Villa at Garches’, 1927년).
1946년 르코르뷔지에는 모듈러Modulor라는 도구를 디자인했다. 이것은 한 면에는 영국 단위, 다른 면에는 미터 단위를 둔 줄자로 양면의 숫자를 피보나치수열에 맞춰 표시했다. 이는 영국과 유럽의 건축가들이 1.618 비율에 따른 숫자 패턴을 배치할 수 있도록 고안한 것이다.
르코르뷔지에에 따르면 피보나치수열의 숫자는 인체에서 중요한 지점의 평균 비율에 해당한다(발과 배꼽, 정수리, 펼친 손. 그림 2-35 참고).39 르코르뷔지에는 건축디자이너에게 건물 구조에 자연스럽게 1.618 비율이 들어가도록 이 도구를 사용할 것을 추천했다. 예를 들어 이 도구로 문의 높이와 길이를 정하면 그 문은 저절로 황금비율이 된다. 그의 기대와 달리 현장의 건축디자이너들은 이 도구를 사용하지 않았고 현대 들어 대부분 이 도구를 잊었다.
그러다가 20세기 중반인 1951년 밀라노에서 열린 ‘비율의 건축사’에서 알베르티의 《건축의 예술》(1485년, 그림 2-4 참고)과 함께 주요 전시품으로 전시되었다. 달리와 마찬가지로 르코르뷔지에는 1.618 비율에 초월적 힘이 있다고 믿었다. 마르세유에 집합주택Unite d’Habitation(1947?1952년)을 지은 그는 모듈러 건축을 의인화 대상처럼 묘사했다.
“건물 전체 공사를 지휘한 모듈러에 바친다. (…) 건물의 모든 치수가 15세기와 같도록 해서 조화로운 비율의 품위가 깃들도록 한 모듈러에 감사를 표한다.”
르코르뷔지에는 자신의 커리어를 쌓아가는 내내 좋은 디자인의 열쇠는 황금분할에 있다고 믿었다.
- 124p, 황금분할

추천사 _ 수학은 우주의 언어다 _ 닐 디그래스 타이슨
서문 _ 수학자와 예술가, 그들의 상호작용 역사

1. 산수와 기하학
고대 수학의 기반: 추상적 관념과 일반화 | 플라톤의 형상론 | 데모크리토스의 기계적 우주 | 공리 방법: 유클리드의 원론 | 기하학적 우주모형 | 이슬람의 수학: 대수학과 아라비아 숫자 | 신플라톤주의와 초기 기독교 | 아시아의 수학: 추상화하지 않은 일반화 | 서양 학문의 부활 | 과학법칙: 갈릴레오의 운동법칙과 케플러의 천체운동법칙 | 뉴턴의 만유인력법칙 | 유신론과 무신론과 세속주의

2. 비율
고전미술의 비율 | 선원근법 | 신성한 비율 | 황금분할 | 다윈 이후의 비율

3. 무한대
유리수와 무리수 | 기하학과 대수학의 융합 | 미적분: 변화하는 현상을 측정하는 도구 | 다차원 기하학 | 확률론 | 칸토어의 실무한과 집합론 | 무한과 ‘절대성’ | 계몽주의의 이성주의에서 자연철학과 생철학까지 | 칸토어의 무한성 철학 | 모스크바의 수학: 환영받는 칸토어 | 절대주의 | 자유의지와 확률 | 절대자의 종말

4. 형식주의
비유클리드 기하학 | 공간 인식: 헬름홀츠의 기하학 | 칸토어의 집합과 같은 플라톤의 형상 | 기하학을 위한 힐베르트의 형식주의 공리: 유클리드 기하학에 숨은 가정 | 일관성은 실재를 수반한다 | 형이상학의 종말 | 형식주의 미학: 수학과 예술의 자율성 | 러시아 수학과 언어학의 형식주의 | 형식주의 비평과 문학 | 러시아 구성주의 예술: 타틀린과 로드첸코 | 폴란드의 우니즘: 스체민스키와 코브로 | 형식주의, 의미론 그리고 형식주의의 의미론

5. 논리
주장의 귀납논리: 아리스토텔레스의 삼단논법 | 라이프니츠의 보편언어와 추론연산학 | 상징주의 논리학 | 프레게의 산술과 술어논리학 | 언어학 | 영국의 분석철학 | 러셀과 화이트헤드의 《수학원론》 | 논리적 원자론 | 논리와 예술: 로저 프라이의 형식주의적 비평 | 버지니아 울프 | 영국의 조각: 헨리 무어와 바버라 헵워스 | 영국 문학 형식주의: 토머스 스턴스 엘리엇과 새로운 비평문화 | 제임스 조이스

6. 직관주의
네덜란드의 월든 | 브라우어르의 근본적 시간직관 | 위상기하학 | 셈어와 기호학 | 몬드리안과 상징주의 | 스훈마르케스 | 데스틸

7. 대칭성
결정학 | 그룹이론 | 가장 추상적인 기하학: 리군과 클라인의 에를랑겐 프로그램 | 물리학과 우주론의 대칭 | 자연의 힘의 통합 | 장식예술의 대칭 | 정신의 대칭: 게슈탈트 심리학 | 1930년대와 1940년대 스위스의 구체미술

8. 1차 세계대전 이후의 유토피아 세계관
현상학에서 실존주의까지 | 힐베르트의 프로그램 | 논리실증주의와 빈학파 | 양자역학 | 코펜하겐 해석 | 드브로이-봄 해석 | 양자 얽힘 | 러시아 구성주의의 사절: 엘 리시츠키 | 1920년대 독일의 기하추상 | 형이상학을 제거한 디자인 | 수학모형 | 시카고의 새로운 바우하우스

9. 수학의 불완전성
메타수학, 완전성 그리고 일관성 | 비트겐슈타인의 선언 | 괴델수: 증명에서 계산까지 | 수학의 불완전성을 증명한 괴델 | 20세기 초반 메타예술 | 불가능한 사물 | 비트겐슈타인의 언어게임 | 영미식 언어 예술 | 중국의 언어 예술

10. 계산
계산 가능성부터 컴퓨터에 이르기까지 | 음악에 공리적으로 접근하는 방식 | 기계계산 시대의 예술작품 | 보편주의 | 미국과 일본 예술의 동서양 결합 | 양자 신비주의

11. 2차 세계대전 이후의 기하추상
2차 세계대전 이후 스위스의 구체미술 | 프랑스의 형식주의 수학: 니콜라 부르바키 | 프랑스의 형식주의 문학: 울리포 | 프랑스의 옵티컬 아트 | 부르바키의 종말 | 영국 | 라틴아메리카 | 북아메리카 | 미국의 미니멀아트 | 비대칭: 로버트 스미스슨

12. 수학과 예술에서의 컴퓨터
소진 증명 | 컴퓨터 시각화 | 매듭 | 네트워크 | 종이접기 | 재귀적 알고리즘 | 프랙탈 기하학 | 과학, 기술, 예술의 재귀 알고리즘

13. 탈근대 시대의 플라톤주의
표준모형과 초대칭성 탐색 | “우리는 작은 성단이다” | ‘진실’, 진실과 확실성

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