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반디앤루니스 리뷰

기호의 의미를 ‘직’접 ‘관’람하는 신개념 미적분 통합서
EBS 《수능 특강》 대표 저자가 알려주는 수학 공부의 새로운 패러다임!

역사 속으로 사라질 뻔한 아르키메데스의 ‘방법(The Method)’이
2025년 서울의 한 고등학교에서 되살아난다!

2028학년도 수능 개편 2년 전, 현재 고등학교 1학년부터 수능에서 미적분Ⅱ가 평가 영역에서 제외되며 수학 학습의 격변이 예고되었다. 미적분이 AI 기술의 기초가 되는 미래 사회를 앞두고, 정작 입시 현장에서는 수학적 기초 체력이 약화될 수 있는 역설적인 상황이 펼쳐진 것이다. 그 와중에 일부 대학은 자연 계열 지원 시 미적분Ⅱ를 권장과목으로 안내하는 등 가중되는 혼란과 함께 전략적 수학 공부의 필요성이 급부상하고 있다. 이러한 전환기의 요구에 맞춰, 교육계의 찬사와 함께 혜성처럼 등장한 《미적분 직관하기》가 ‘눈으로 푸는 미분’에 이어 ‘눈으로 푸는 적분’으로 돌아왔다.
이 책을 쓴 박원균은 고등학교에서 30년 가까이 학생들을 가르친 수학 교사이자 수능 연계 교재 EBS 《수능 특강》 현직 최장기 집필자다. 매년 교사들을 대상으로 수능형 문제 출제 연수를 이끌고 있다. 책에서는 실제로 평가원 문제와 수능 문제를 다루면서 출제자가 문제를 낸 의도에 기반해 미적분을 설명하는 것은 물론, 직접 개발한 수학 교구로 독자를 어디서도 본 적 없는 미적분 수업으로 초대한다.
수능 개편은 단순히 문항 몇 개가 바뀌는 정도가 아니라 학생들이 앞으로 어떤 방식으로 수학을 사고하고 접근해야 하는지 전체 방향이 달라지는 문제다. 시험이 바뀌더라도 개념의 본질은 변하지 않는다. 지금은 변화의 중심부에 놓인 학생들이 미래의 경쟁력을 스스로 설계할 수 있도록 돕는 안내서가 가장 필요한 때다. 《미적분 직관하기》는 학생들이 ‘이해하도록’ 돕는 것을 넘어 학생이 스스로 ‘발견하도록’ 돕는 저자의 목표와 함께 교육과정 변화 이전과 이후에 반드시 정리해야 할 개념 구조와 사고 체계를 붙잡기 위한 가장 직관적이고 확실한 안내서가 되어준다.

출판사 리뷰

책 속에서

“이제 우리가 마지막으로 직접 확인해보고 싶은 지레의 균형은 무엇일까?”
“오른쪽 끝에는 포물선 도형을 놓고, 왼쪽에는 받침점에서 2/3만큼 떨어진 지점에 삼각형 도형을 놓으면 균형이 맞아야 합니다.”
두 도형을 학생이 말한 대로 놓자 정확하게 균형이 맞았다. 교실에서는 2,300년 전으로 보내는 함성과 박수 소리가 터져 나왔다. - 1부 3장 〈아르키메데스의 수학 서커스〉, 36쪽.

아르키메데스의 방법은 오늘날 적분법의 정신, 즉 전체를 작은 조각으로 나누어 분석한 후, 그것들을 다시 결합해 전체를 이해하는 방식의 모태라 할 수 있다. 그래서 적분법의 역사 맨 처음에는 언제나 아르키메데스가 등장한다. 그런데 놀라운 사실은 적분법을 완성한 뉴턴과 라이프니츠조차 아르키메데스의 방법의 존재를 몰랐다는 것이다. 이 방법이 자칫 인류의 기억 속에서 영영 사라질 뻔했던 아찔한 위기가 있었기 때문이다. - 1부 4장 〈아르키메데스의 ‘방법’〉, 41~42쪽.

수학에서 적분이 미분보다 개념적으로 먼저 등장할 수밖에 없었던 근본적인 이유는 인간의 본성이 부분보다 전체에 더 많은 관심을 갖기 때문이고, 동적(動的)인 것보다 정적(靜的)인 것을 탐구하는 것이 훨씬 쉬웠기 때문이다. 적분은 ‘정적인 전체’를 탐구하는 과정에서 탄생했고, 미분은 ‘동적인 부분’을 탐구하는 과정에서 시작되었다. - 1부 8장 〈입체도형의 부피를 어떻게 구할 것인가〉, 74~75쪽.

고대의 유클리드는 ‘선은 폭이 없고, 면은 두께가 없다.’라고 했지만, 카발리에리는 ‘무한히 가늘지만 폭이 있는 선’과 ‘무한히 얇지만 두께가 있는 면’을 상상한 것이다. 카발리에리는 이러한 선의 폭과 면의 두께를 ‘더 이상 나눌 수 없는(indivisible) 양’, 즉 ‘불가분량(不可分量)’이라 불렀고, 이 개념은 본격적인 적분의 등장을 알리는 마중물이 되었다. - 1부 13장 〈적분의 재등장〉, 127쪽.

“우와!” “멋지다.”
이 그림을 처음 보는 학생들도 이 그림의 의미를 직감하는 모양이다. 역시 아름다운 것은 누구에게나 통하는 법이다.
“이제 선생님이 진짜로 구하려고 하는 것이 단순히 직사각형들의 넓이의 합이 아니라는 것을 눈치챘지?”
“예, 곡선 아래의 넓이를 구할 수 있을 것 같아요.”
“어떻게 하면 곡선과 x축 사이의 넓이 A를 알 수 있을까?”
“n의 값을 한없이 증가시켜요.”
학생들이 스스로 극한을 떠올리기 시작한다.
“그렇지. 사실 17세기 수학자들도 이런 방법으로 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했단다.” - 2부 1장 〈현대적 적분의 시작〉, 134쪽.

16세기까지만 하더라도 3+3+3과 3X3은 서로 다른 양으로 취급되었다. 3+3+3은 9만큼의 길이라고 여겼고, 3X3은 9만큼의 넓이라고 본 것이다. x^2과 x^3을 각각 정사각형의 넓이나 정육면체의 부피로 보지 않고 일반적인 수로 여기는 생각이 정착된 것은 17세기에 이르러서다. - 2부 6장 〈미적분의 기본 정리〉, 170~172쪽.

드디어 나에게 큰 의미가 있는 수능 문제를 소개할 시간이다. 어쩌면 이 책을 쓰게 된 첫 계기를 만들어주었다고도 할 수 있다. 어느 날 모임에서 만난 한 교수님이 무심하게 한마디를 던졌다.
“이건 눈으로 푸는 문제잖아!”
그 말은 익숙한 방식대로만 문제를 풀고 있던 나를 깨웠고, 그 의미를 스스로 깨우치려 탐구하는 과정에서 미적분을 직관적으로도 바라보게 하는 눈을 뜨게 했다. - 2부 10장 〈넓이의 변화율 직관하기〉, 211쪽.

정적분에 항상 등장하는 라이프니츠의 미분소 dx와 dy를 단순히 ‘무한히 작은 폭’을 상징하는 것으로만 생각한다면 그것은 dx, dy를 너무나도 홀대하는 것이다. dx, dy의 진짜 위력은 한없이 가느다란 폭의 비를 서로 비교할 수 있게 해 미분과 적분을 자유자재로 변환하거나 치환
할 수 있게 하는 데에 있기 때문이다. ...미적분에 입문한 지 거의 40년 만에, 서로 대응하는 두 조각의 넓이 비를 이용해 다항함수의 그래프와 x축 사이의 넓이를 구하는 방법을 발견했다. 그리고 이 방법을 통해 학생들로 하여금 라이프니츠의 눈으로 치환적분법을 직관하게 할 수 있겠다는 희망도 생겼다. - 3부 2장 〈넓이를 구하는 새로운 방법〉, 239~243쪽.

적분할수록 차원이 증가한다고 했다. 그리고 미분은 적분의 역연산이라고 했다. 그렇다면 미분할수록 차원이 낮아져야 할 것이다. 그런데 직사각형을 아무리 잘게 나누어도 선분이 되지 않고 아주 가느다란 직사각형이 끝까지 남아 있지 않은가? 원기둥을 아무리 작게 나누어도 아주 얇은 원기둥이 여전히 남아 있지 않은가? 그럼에도 불구하고 미분할 때마다 차원이 낮아지는 이유는 무엇일까?
그 이유는 바로 미분은 단순히 잘게 나누는데 그치지 않고 잘게 나눈 결과와 기준이 되는 변화량 사이의 비를 구하는 것이기 때문이다. 즉, 무언가(y)를 미분한다는 것은 그와 관련된 또 다른 어떤 것(x)이 무한소 dx만큼 변할 때 그 무언가의 변화량 dy를 dx로 나눈 비, 즉 dy/dx
를 구하는 것이다. 이때 비를 구하기 위해 ‘dx로 나누는 과정’에서 차원이 하나씩 낮아지는 것이다. - 3부 4장 〈곡선의 길이, 그리고 미적분과 차원〉, 263쪽.

미적분의 기본 정리가 발견되기 전에는 넓이나 부피와 같은 ‘무엇’을 구하기 위해서는 대상을 한없이 작고 무수히 많은 조각으로 나누고 그 조각들을 단순한 도형으로 재구성해 다시 합하는 구분구적법을 이용했다. 하지만 미적분의 기본 정리가 발견된 후에는 그 ‘무엇’을 직접 구하려고 시도하는 대신, 먼저 그것의 변화를 분석해 도함수를 구한 뒤 부정적분을 통해 ‘무엇’을 구하는 새로운 방법이 등장한 것이다. ...이제 수학자들은 복잡한 문제 상황과 맞닥뜨렸을 때, 무작정 문제를 직접 해결하려고 시도하기보다는 문제를 일으킨 요인이나 문제에 영향을 주는 요소의 ‘변화’를 분석하는 것이 더 쉬울 때가 많음을 깨닫게 되었다. - 3부 8장 〈무한소만큼의 변화가 탄생시킨 새로운 방법〉, 305쪽.

[1부 분할과 통합을 직관하다: 적분]
1 한 여름날의 특강
2 지레의 원리
3 아르키메데스의 수학 서커스
4 아르키메데스의 ‘방법’
5 평면도형의 넓이를 어떻게 구할 것인가
6 원주율을 구하는 여정
7 아르키메데스의 엄밀한 적분
8 입체도형의 부피를 어떻게 구할 것인가
9 수열의 일반항과 합
10 라이프니츠의 망원합
11 급수, 무한개의 수를 더하다
12 자기닮음과 프랙털
13 적분의 재등장

[2부 미분과 적분의 통합을 직관하다: 미적분]
1 현대적 적분의 시작
2 다항함수의 그래프의 넓이가 정복되다
3 수학의 대혁명이 눈앞에 아른거리다
4 뉴턴의 현란한 적분법
5 라이프니츠의 심오한 적분 기호
6 미적분의 기본 정리
7 적분이 진화하다
8 미적분의 창시자들
9 미적분의 기본 정리 직관하기
10 넓이의 변화율 직관하기

[3부 문제 해결의 혁명을 직관하다: 미적분의 활용]
1 정적분 기호 가지고 놀기
2 넓이를 구하는 새로운 방법
3 입체도형의 부피
4 곡선의 길이, 그리고 미적분과 차원
5 적분, 말 그대로 조각의 넓이를 쌓다
6 다항함수 그래프의 필연성
7 적분으로 이런 것도 구할 수 있다고?
8 무한소만큼의 변화가 탄생시킨 새로운 방법
9 뉴턴, 우주의 법칙을 증명하다

나가며: 미적분 직관하기를 마치며

[부록]
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도판 출처
참고 문헌