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2018/8 자연과학/공학 26위 | 현재 자연과학/공학 31위 |

• [시리즈] 재미있는수학여행 [4]

반디앤루니스 리뷰

수학의 기초는 계산이 아닌 사고력이다. 논증을 통해 진실을 밝혀내는 수학적 사고력의 힘!

무한은 아무리 나누어도 무한이다? 노아의 대홍수 시기에 내린 강수량은 겨우 25mm였다? "나는 교수형을 당할 것이다"라고 말한 예언자가 살아남은 이유는 무엇일까? 인종차별마저 타파한 수학적 사고방식의 비밀은?

귀남과 연역, 실증과 논증의 과정을 넘나드는 수학자들의 논리대결! 추리소설보다 재미있고 게임보다 신나는 논리여행의 출발! 역사와 생활 속에 숨겨진 논리의 오류를 발견하고 합리적 사고구조의 기본을 탄탄하게 다져줄 흥미만점의 두뇌훈련이 시작된다!

출판사 리뷰

출판사 서평 수학의 기초는 계산이 아닌 사고력이다. 논증을 통해 진실을 밝혀내는 수학적 사고력의 힘! 무한은 아무리 나누어도 무한이다? 노아의 대홍수 시기에 내린 강수량은 겨우 25mm였다? \"나는 교수형을? 당할 것이다\"라고 말한 예언자가 살아남은 이유는 무엇일까? 인종차별마저 타파한 수학적 사고방식의 비밀은? 귀남과 연역, 실증과 논증의 과정을 넘나드는 수학자들의 논리대결! 추리소설보다 재미있고 게임보다 신나는 논리여행의 출발! 역사와 생활 속에 숨겨진 논리의 오류를 발견하고 합리적 사고구조의 기본을 탄탄하게 다져줄 흥미만점의... 수학의 기초는 계산이 아닌 사고력이다. 논증을 통해 진실을 밝혀내는 수학적 사고력의 힘! 무한은 아무리 나누어도 무한이다? 노아의 대홍수 시기에 내린 강수량은 겨우 25mm였다? \"나는 교수형을 당할 것이다\"라고 말한 예언자가 살아남은 이유는 무엇일까? 인종차별마저 타파한 수학적 사고방식의 비밀은? 귀남과 연역, 실증과 논증의 과정을 넘나드는 수학자들의 논리대결! 추리소설보다 재미있고 게임보다 신나는 논리여행의 출발! 역사와 생활 속에 숨겨진 논리의 오류를 발견하고 합리적 사고구조의 기본을 탄탄하게 다져줄 흥미만점의 두뇌훈련이 시작된다!

 1권-수의 세계

 어느 아라비아 상인이 17마리의 낙타를 가지고 있었는데 그가 죽을 때 장남에게는 그 재산의 1/2을, 차남에게는 1/3, 그리고 삼남에게는 1/9을 준다고 유언하였다. 그러나 17은 2에 의해서도 3에 의해서도 그리고 9에 의해서도 나누어 떨어지지 않는다. 그렇다고 낙타를 죽여서 나누어 가질 수도 없다. 삼형제는 아버지의 유언대로 재산을 분배할 수 없어서 걱정이 태산 같았다. 마침 그때 낙타 1마리를 이끈 할아버지가 나타나서 그 이야기를 듣고는 “다행히 나에게 낙타 1마리가 있다. 이것을 너희에게 줄 터이니 이 1마리를 합하여 18마리로 하여 나누어 가져라”하고 하셨다. 잘 알지도 못하는 분으로부터 귀한 재산을 공으로 얻을 수는 없다고 한사코 사양했지만 할아버지의 간곡한 권유에 못 이겨 마침내 낙타를 얻어 갖기로 하였다. 그리하여 18마리가 된 낙타를 아버지의 유언대로 나누었다. 낙타 18마리의 1/2은 9마리이기 때문에 이것은 장남의 몫, 18마리의 1/3은 6마리이기 때문에 이것은 차남의 몫, 그리고 18마리의 1/9인 2마리는 삼남이 차지했다. 그런데 9+6+2=17, 그러니까 아직 낙타 1마리가 남았다. 그러자 할아버지는 “너희들 3사람이 모두 아버지의 유언대로 낙타를 차지했는데도 1마리가 남았다. 이 낙타는 원래 내 것이기 때문에 내가 데리고 가겠다”고 했다 한다....

2권-논리의 세계

어떤 사람이 "나는 거짓말을 하고 있다"라고 말했다고 하지. 그의 이말은 참말일까, 거짓말일까? 만일 그의 말이 참말이면 그는 거짓말을 하고 있으며, 그의 말이 거짓말이면 참말을 하고 있는 것이 된다. 이처럼 얼핏 듣기에 틀린 것처럼 생각되어도 실은 옳고, 역으로 얼핏 옳은 것 같아도 틀리는 자기 모순되는 명제를 패러독스(paradox) 또는 역리(逆理)라고 부른다. 기원전 6세기보다 오래된 옛날 크레타 섬 출신의 뛰어난 시인이자 예언자인 에피메니데스는 "크레타 섬 사람들이 하는 말은 모두 거짓말이다"라는 유명한 말을 남겼다. .... 에페메니데스의 이 말은 근거 없는 단순한 과장 정도가 아니라 사람들의 사고를 혼란하게 만들 위험한 내용을 담고 있다. 문제는 이 주장을 한 에피메니데스 자신이 크레타 섬 사람이라는 점에 있다. 요컨대 에피메니데스가 말하는 이야기는 모두 거짓말이라는 것을 당사자인 그 자신이 주장하고 있는 데에 말썽의 씨가 있다. 에피메니데스의 이 주장은 맨 처음 내놓았던 보기와 똑같은 내용의 패러독스인 것이다.

3권-기하의 세계

마을에서 멀리 떨어진 깊은 산골의 수용소에서 강제노동에 종사하던 두 사람의 죄수가 탈주할 기회를 엿보고 있다가, 마침내 어느 눈보라가 치는 캄캄한 밤에 수용소를 빠져나오는 데 성공하였다. 얼마동안 정신없이 걷다보니, 이제 부락이 나타날 때쯤으로 짐작이 갔는데, 아닌게 아니라 어둠 속에 어슴프레하게 마을 같은 게 보이기 시작하였다. 그런데 아주 낯익은 모습이어서 자세히 보니 자신들이 출발하였던 수용소 바로 그 곳이 아닌가?! 혼비백산하여 다시 정신없이 그곳을 빠져나갔다. 그러나 얼마만에 다시 수용소의 철조망 앞에 도착하고 말았다. 그래서 세 번째로 필사의 도주를 시도하였지만, 마치 여우에게 홀린 것처럼 결과는 마찬가지였다. 그래저래 하는 동안에 이 심야의 대 탈주극은 싱겁게 막을 내리고 말았다. ..... 정말 이 수용소에는 죄수가 도망가지 못하도록 무언가 특별한 장치가 되어 있었던 것일까? 그건 결코 아니다. 눈보라가 치는 밤이라든가 안개가 깊을 때에는, 본인은 똑바로 걷고 있다고 생각하지만, 결과적으로는 원을 가리면서 빙빙 같은 자리를 맴도는 일이 흔히 있다는 이야기는 옛적부터 자주 일컬어지고 있다. 실험에 의하면, 이 ‘원’의 반지름은 약 60~100m이며, 걷는 속도가 빠를수록 ‘원’의 반지름은 작아진다. 그렇다면 사람이나 다른 동물들이 어둠 속에서는 똑바로 나아갈 수 없고, 걸음의 자취가 원을 그리게 된다는 이 기묘한 현상은 어째서 일어나는 것일까? 그 답은 동물의 걸음걸이가 직선이 되기 위해서는 무엇이 필요한지를 생각하면 저절로 얻어진다. 동물도 좌우의 근육이 완전히 균형있게 움직인다면 운의 도움없이 똑바로 갈 수 있다. 그러나 인간이나 동물은 대부분 좌우 근육의 발달 정도가 다르다. 걸음을 걸을 때, 오른발을 왼발보다 조금이나마 더 앞으로 내딛는 사람은 곧게 걸을 수 없는 것이 당연하다. 눈이 이것을 수정해주지 않으면, 그 사람은 반드시 왼쪽으로 치우치게 된다. 마찬가지로 어두워서 방향을 알 수 없을 때, 보트를 젓는 사람의 왼팔이 오른팔보다 힘이 세면, 그 배는 반드시 오른쪽 방향으로 치우치게 되기 마련이다. 즉 왼쪽 또는 오른쪽으로 저도 모르게 돌게 되는 것은, 도깨비의 장난 따위가 아니고 순전히 기하학적인 문제인 셈이다.

4권-공간의 세계

 ‘4차원의 세계’라는 말은, 아인슈타인의 상대성 이론이 나온 이후 물리학을 잘 모르는 사람들의 입에도 자주 오르내리는 인기 있는 화제 중의 하나가 되어있다. 그러나 이 4차원은, 공간 자신이 4개의 차원으로 이루어져 있다는 뜻은 아니고, 3차원의 공간에 1차원이 ‘시간’을 덧붙여서 생각한 것이다. 그러니까 얼핏 공간과는 이질의 것인 시간이 공간과 대등한 자격을 갖는다는 것을 주장하는 것이 상대성 이론이며, 여기서 가로・세로・높이에 이은 ‘제4의 좌표’란 시간을 가리키고 있다. 공간만으로 된 4차원 세계는 우리의 현실로는 공상에 지나지 않는다. 우주 공간에 뚫린 이상한 구멍 ‘블랙홀(black hole)'은 4차원의 신비로 가끔씩 공상과학소설에 등장한다. 이 우주의 어딘가에 일단 빨려 들어가기만 하면 절대로 빠져 나올 수 없는 공간이 있는데, 밖에서는 이 구멍 속이 전혀 보이지 않는다. 아무리 강력한 빛을 발사하여도, 레이저를 사용해도 소용이 없다. 완전히 불투명한 상태로 빛도, 전파도, 사람도… 온갖 것을 집어삼켜 버리는 무서운 구멍, 이것이 우주의 괴물 블랙홀이라는 그런 이야기 말이다. 우리가 살고 있는 세계는, 가로・세로・높이의 3방향으로 무한히 멀리 뻗어있는 3차원의 공간이다. 이 세 가지 방향의 어느 것과도 직각으로 만나는 또 다른 방향은 현실에는 존재하지 않는다. 그러나 인간의 상상력은 한이 없어서, 3이 있으면 반드시 4가 있을 법이라고 생각하기 일쑤이다.저 블랙홀의 이야기도 인간의 그칠 줄 모르는 탐욕스러운 상상력의 산물이다.

목차
1. 큰 수에 도전하다.
아르키메데스의 모래알 계산
'수의 거인'을 찾아라우리 주변에 있는 큰 수
거듭제곱이 만든 수
모든 씨앗의 싹이 튼다면
걸리버의 식사
2로 만든 가장 큰 수

2.집합과 셈?
무한을 셈한다!
자연수와 대등인 집합들
자연수보다 더 큰 집합
어느 쪽이 더 많을까?
무리수의 정의
무한집합에 관한 정리
무한에 얽힌 패러독스
무한과 무

3.현실세계와 수
수학은 픽션이다
수와 현실의 대응관계
수학의 허구와 현실
유럽 사람들의 계산법
구구단 외우기
서양식 손가락셈
노아의 대홍수
동양과 서양의수읽기
인종차별을 타파한 수학

4. 논리는 생각의 날개
논리와 수학
수학과 궤변(1)
수학과 궤변(2)
뒤에서 공격하는 귀류법
추측을 뒤집는 반례
집합과 논리
기호와 논리
고마운 기호의 역할(1)
고마운 기호의 역할(2)
수학 기호의 역사
쉽지만 까다로운 부등식

5. 수학이란 무엇인가
수학의 생명은 추상
수는 도의 개념
실증과 논증
연역과 귀납
개념의 내포·외연
수학은 가장 이상적인 대화
수학은 정의부터 시작한다
최초의 정의
공리 위에 쌓은 지식

6. 수학의 구조
수학으로 만든 설계도
군이란 무엇인가?
가장 간단한 군
군의 구조를 가진 집합
수학은 함수의 학문
컴퓨터와 수학적 사고력

7. 증명이란 무엇인가?
수학적 사고력 키우기
아직도 풀지 못한 문제들
수학과 탐정
불가능한 증명
정답이 6가지인 문제
스무고개와 이분법
귀납법이란?
수학에서의 귀납법
엉터리 귀납법

8. 수학의 에피소드
여성과 수학
구구셈을 몰랐던 대학생
수학자에 얽힌 일화
수학자는 마술사이다
철학자 칸트는 수학자로서 더 훌륭했다?